复变函数中有趣的多值函数

我们知道复数有三种表达形式，代数形式、三角形式、指数形式。代数形式：z=x+iy；三角形式：z=r(cosθ+isinθ)；指数形式：z=re^(iθ)。其中x是实部，y是虚部。r是z的模，θ是z的辐角。一个复数是可以有无数个辐角的，这是因为有数学最美公式欧拉公式

那么

记argz为辐角的主值，-πargz≤π，于是θ=argz+2kπ。

w的多值性就是因为一个复数的辐角是无穷多个，我前面介绍“抽象代数”的时候，n次单位根是循环群的很好地例子。由于复数域是代数封闭的，所以抽象代数的代数结构总能在复数域找到例子。w看作z的函数，w有n个值，是n个单值连续分支函数，可以证明其解析性。下面介绍对数函数，复变函数中的对数函数是指数函数的反函数

可以看到在复变函数范围里，z只要不等于0和无穷就行了，但在实函数范围，z必须是正数。欧拉公式就表明当指数函数自变量为复数时，函数是可以为负数的。令

w有无穷多个值，这无穷多个值实部相同，虚部相差2kπ,复对数可以写成Lnz=ln(|z|)+i(argz+2kπ),取w的虚部为argz，则lnz=ln(|z|)+i(argz)是Lnz的主值。

很赞哦!（66）